结论：绥宁铁路经过绥江、古城、育塅、鹿塘、龙塘、石城、伶站等乡镇。

原因：根据绥宁铁路的设计路线图可以得知，该铁路从绥江镇开始，经过古城、育塅、鹿塘、龙塘、石城等多个镇，直到伶站为止。

内容延伸：绥宁铁路是湖南省境内的一条铁路线路，全长约38公里，目前正在施工中。

该铁路的建成有利于加强湘鄂两省的交通联系，并促进沿线经济的发展。

绥宁铁路的通车将极大地方便沿线居民和旅客的出行，同时也为周边的工业、农业、旅游等产业提供了新的发展机遇。